مطالب ریاضی متوسطه

نکته ای در باب احتمال

فرض کنید کیسه ای حاوی ۴ مهره سفید و ۶ مهره سیاه داریم. از این کیسه مهره ای به تصادف بیرون می آوریم. احتمال سفید بودن این مهره ۴/۱۰ است. حال با فرض سفید بودن این مهره، مهره ی دوم را بیرون آوریم احتمال سفید بودن آن ۳/۹ است.
اما اگر اطلاعی از رنگ مهره اول نداشته باشیم و مهره‌ی دوم را بیرون آوریم احتمال سفید بودن آن همچنان ۴/۱۰ خواهد بود.
به شکل کلی تر،
اگر از کیسه ۴ مهره بیرون آورده و از بین این ۴ مهره، یک مهره به تصادف برداریم احتمال سفید بودن این مهره همچنان ۴/۱۰ است و اگر از بین ۶ مهره باقیمانده یک مهره برداریم احتمال سفید بودن این مهره نیز همان ۴/۱۰ است.

مثال. فرض کنید دو کیسه داریم. اولی شامل ۴ مهره سفید و ۶ مهره سیاه و دومی شامل ۶ مهره سفید و ۸ مهره سیاه است.
۴ مهره از کیسه اول و ۶ مهره از کیسه دوم برداشته و در کیسه سومی می‌ریزیم. از کیسه سوم یک مهره به تصادف برمی‌داریم. احتمال سفید بودن این مهره چقدر است؟

پاسخ. مهره برداشته شده از کیسه‌ی سوم ممکن است از مهره های کیسه‌ی اول و یا کیسه‌ی دوم باشد. اگر از مهره های کیسه‌ی اول باشد، احتمال سفید بودن آن ۴/۱۰ است و اگر از مهره های کیسه‌ی دوم باشد احتمال سفید بودن آن ۶/۱۴ است. بنابر این جواب برابر است با :

6/18 * 6/10 + 4/10 * 4/10